Nació en Santa Isabel, en el mes de noviembre del año 1895, y fueron sus padres don José Anselmi y doña Monserrate Rodríguez.
 Desde bien niño mostró tener gran talento, cursando los grados primarios y secundarios en las escuelas de Santa Isabel.

Con la ayuda económica de sus hermanos, se trasladó a Filadelfia donde cursó estudios en farmacia, licenciándose en el año 1918 en la Universidad de Temple con altos honores, haciendo el primero en su clase.

El regresar graduado de farmacéutico se trasladó a Coamo donde fundó la Farmacia Anselmi.  Su capacidad empresarial le llevó a fundar en la década del 1940 una droguería para la fabricación de medicinas para la venta al por mayor.

Poco después entró a la política y fue electo senador por el distrito de Ponce en 1944, 1948, 1952, 1956 y 1960. Junto a Arcillo Alvarado Alvarado, otro santa isabelino, formaron parte de la constituyente que estableció el Estado Libre Asociado de Puerto Rico y la constitución de Puerto Rico en 1951.

Don Francisco fue siempre de pensamiento liberal. Era inteligente y sociable y esto, unido a una personalidad humanitaria y paternalista, lo convirtió en un respetado líder. Fue sumamente influyente en las altas esferas del gobierno, pues perteneció al círculo íntimo de amigos que junto a don Luis Muñoz Marín recorrió los campos de Puerto Rico fundando el Partido Popular.